2  Dinámica del modelo

En el contexto del fútbol llamamos jugada a una sucesión de acciones donde el balón se traslada desde un punto inicial donde el equipo A tiene el balón hasta un punto final que puede ser: perder el balón, tirar a puerta y no anotar gol o tirar y anotar gol.

Ejemplo: El balón comienza en el saque de meta del portero, el portero da un pase a un defensa que se encuentra en el primer tercio, que esté da un pase a un delantero que se encuentra en el tercer tercio y al intentar un regate pierde el balón.

En nuestro contexto se verá como el hecho de iniciar la sucesión de acciones desde alguna sección \(C_i\) y terminar en alguno de los 3 estados absorbentes.

Ejemplo \[ C_1\xrightarrow{p}C_1\xrightarrow{p}C_3\xrightarrow{r}L_p. \]

Código 
import numpy as np 
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt 
from mplsoccer import Pitch, FontManager, add_image

pitch = Pitch(line_color='black',linewidth=1)
fig, ax = pitch.draw()
pitch.lines(40,0,40,80,color = 'gray', linewidth = 1, ax=ax, linestyle = '--')

pitch.lines(80,0,80,80,color = 'gray', linewidth = 1, ax=ax, linestyle = '--')

pitch.annotate(text='$C_1$',xytext=(10,10),xy=(84,45),ax=ax)
pitch.annotate(text='$C_2$',xytext=(50,10),xy=(84,45),ax=ax)
pitch.annotate(text='$C_3$',xytext=(90,10),xy=(84,45),ax=ax)

pitch.scatter(0,40, color = 'red', ax=ax)
pitch.scatter(24,62,color = 'red',ax=ax)
pitch.scatter(84,45,color = 'red',ax=ax)

pitch.arrows(0,40,24,62,color = 'green', width = 2,label = 'Pase', ax=ax)
pitch.arrows(24,62,84,45,color = 'green', width = 2, ax=ax)
pitch.arrows(84,45,88,46,color = 'blue', width = 2,label = 'Regate', ax=ax)
pitch.annotate(text='$L_p$',xytext=(89,47),xy=(84,45),ax=ax)

ax.legend(shadow=True, loc = 'upper left', ncol=2, facecolor = 'white', edgecolor = 'None')

plt.show()

Para movernos de un estado \(S_i\) a un estado \(S_j\) mediante una acción \(a_k\) haremos uso de las probabilidades de transición, estas probabilidades las estimaremos utilizando datos extraídos de FBREF para 4 clubes: Chivas, América y Cruz Azul de la temporada 2023-2024

Primero vamos a interpretar las probabilidades de transición con la finalidad de descartar aquellas transciones que no serán posibles con nuestro modelo y con la naturaleza de un partido.

\[ P(L_p,a,S)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & S = L_p\\ 0 & o.c. & \end{array}\right. \]

\[ P(nG,a,S)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & S = nG\\ 0 & o.c. & \end{array}\right. \]

\[ P(G,a,S)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & S = G\\ 0 & o.c. & \end{array}\right. \]

Para facilitar las estimaciones se renombrarán cada probabiidad con los parámetros que se muestran en las siguientes tablas

Parámetros para las probabilidades de \(C_1\)
Probabilidades Parámetros
\(P(C_1,p,C_1)\) \(\alpha_{1p}\)
\(P(C_1,p,C_2)\) \(\alpha_{2p}\)
\(P(C_1,p,C_3)\) \(\alpha_{3p}\)
\(P(C_1,p,L_p)\) \(\alpha_{4p}\)
\(P(C_1,r,C_1)\) \(\alpha_{1r}\)
\(P(C_1,r,C_2)\) \(\alpha_{2r}\)
\(P(C_1,r,L_p)\) \(\alpha_{3r}\)
Parámetros para las probabilidades de \(C_2\)
Probabilidades Parámetros
\(P(C_2,p,C_1)\) \(\beta_{1p}\)
\(P(C_2,p,C_2)\) \(\beta_{2p}\)
\(P(C_2,p,C_3)\) \(\beta_{3p}\)
\(P(C_2,p,L_p)\) \(\beta_{4p}\)
\(P(C_2,r,C_1)\) \(\beta_{1r}\)
\(P(C_2,r,C_2)\) \(\beta_{2r}\)
\(P(C_2,r,C_3)\) \(\beta_{3r}\)
\(P(C_2,r,L_p)\) \(\beta_{4r}\)
\(P(C_2,t,nG)\) \(\beta_{1t}\)
\(P(C_2,t,G)\) \(\beta_{1t}\)
Parámetros para las probabilidades de \(C_3\)
Probabilidades Parámetros
\(P(C_3,p,C_1)\) \(\gamma_{1p}\)
\(P(C_3,p,C_2)\) \(\gamma_{2p}\)
\(P(C_3,p,C_3)\) \(\gamma_{3p}\)
\(P(C_3,p,L_p)\) \(\gamma_{4p}\)
\(P(C_3,r,C_2)\) \(\gamma_{1r}\)
\(P(C_3,r,C_3)\) \(\gamma_{2r}\)
\(P(C_3,r,L_p)\) \(\gamma_{3r}\)
\(P(C_3,t,nG)\) \(\gamma_{1t}\)
\(P(C_3,t,G)\) \(\gamma_{2t}\)